也就是|算式_入门篇2#复杂度分析（下）：浅析最好最坏平均均摊时间复杂度

篇首语：本文由编程笔记#小编为大家整理，主要介绍了入门篇2 # 复杂度分析（下）：浅析最好最坏平均均摊时间复杂度相关的知识，希望对你有一定的参考价值。

说明

【数据结构与算法之美】专栏学习笔记。

为什么引入这些时间复杂度

先看下面代码

// n 表示数组 array 的长度
int find(int[] array, int n, int x)
int i &＃61; 0;
int pos &＃61; -1;
for (; i < n; &＃43;&＃43;i)
if (array[i] &＃61;&＃61; x)
pos &＃61; i;
break;


return pos;



上面代码中如果没有 break&＃xff1b;那么代码的时间复杂度就是 O(n)&＃xff0c;但是代码的循环中存在提前退出循环的操作&＃xff0c;普通的时间复杂度分析解决不了这个问题。为了表示代码在不同情况下的不同时间复杂度&＃xff0c;就引入了最好、最坏、平均、均摊时间复杂度。

最好、最坏情况时间复杂度

• 最好情况时间复杂度&＃xff1a;在最理想的情况下&＃xff0c;执行代码的时间复杂度。
• 最坏情况时间复杂度&＃xff1a;在最糟糕的情况下&＃xff0c;执行代码的时间复杂度。

上面代码在最理想的情况下&＃xff0c;查找的变量 x 正好是数组的第一个元素&＃xff0c;时间复杂度就是 O(1)&＃xff1b;在最糟糕的情况下&＃xff0c;就是把整个数组都遍历一遍&＃xff0c;时间复杂度就成了 O(n)。

平均情况时间复杂度

最好、最坏比较极端&＃xff0c;为了更好地表示平均情况下的复杂度&＃xff0c;引入了平均情况时间复杂度。

平均时间复杂度&＃xff1a;又叫加权平均时间复杂度&＃xff08;或者期望时间复杂度&＃xff09;&＃xff0c;用代码在所有情况下执行的次数的加权平均值表示。

上面的代码中查找的变量 x 在数组中的位置&＃xff0c;有 n&＃43;1 种情况&＃xff1a;

• 在数组的 0&＃xff5e;n-1 位置中&＃xff1a;n 种
• 不在数组中&＃xff1a;1 种

假设在数组中与不在数组中的概率都为 1/2&＃xff0c;那么出现在 0&＃xff5e;n-1 中任意位置的概率就是 1/(2n)。

根据下面等差数列的公式&＃xff1a;

1&＃43;2&＃43;3&＃43;…&＃43;n &＃61; n(1&＃43;n)/2

可以快速计算出上面计算式等于(3n &＃43; 1)/4&＃xff0c;推出平均时间复杂度为 O(n)。

大多数情况下&＃xff0c;不需要区分最好、最坏、平均情况时间复杂度三种情况。只有同一块代码在不同的情况下&＃xff0c;时间复杂度有量级的差距&＃xff0c;才会使用这三种复杂度表示法来区分。

均摊时间复杂度

下面看一个往数组中插入数据的例子&＃xff1a;当数组满了之后&＃xff0c;也就是代码中的 count &＃61;&＃61; array.length 时&＃xff0c;用 for 循环遍历数组求和&＃xff0c;并清空数组&＃xff0c;将求和之后的 sum 值放到数组的第一个位置&＃xff0c;然后再将新的数据插入。但如果数组一开始就有空闲空间&＃xff0c;则直接将数据插入数组。这里均摊的话不止一次调用 insert 的&＃xff0c;可以理解为有外循环。

int[] array &＃61; new int[n];
int count &＃61; 0;
void insert(int val)
if (count &＃61;&＃61; array.length)
int sum &＃61; 0;
for (int i &＃61; 0; i < array.length; &＃43;&＃43;i)
sum &＃61; sum &＃43; array[i];

array[0] &＃61; sum;
count &＃61; 1;

array[count] &＃61; val;
&＃43;&＃43;count;



最理想的情况下&＃xff0c;数组中有空闲空间&＃xff0c;时间复杂度为 O(1)&＃xff1b;最坏的情况下&＃xff0c;数组中没有空闲空间&＃xff0c;需要遍历一遍&＃xff0c;其时间复杂度为 O(n)。

根据数据插入的位置的不同&＃xff0c;可以分为 n 种情况&＃xff0c;每种情况的时间复杂度是 O(1)。另外一种在数组没有空闲空间时插入一个数据&＃xff0c;时间复杂度是 O(n)。这样就有 n &＃43; 1 种情况&＃xff1a;得到平均时间复杂度为 O(1)。

这里并不需要像之前的平均复杂度分析方法那样&＃xff0c;找出所有的输入情况及相应的发生概率&＃xff0c;然后再计算加权平均值。针对这种特殊的场景&＃xff0c;就引入了一种更加简单的分析方法均摊时间复杂度&＃xff0c;又叫摊还分析&＃xff08;或者叫平摊分析&＃xff09;。

均摊分析的大致思路&＃xff1a;这里对于 insert() 函数来说&＃xff0c;O(1) 时间复杂度的插入和 O(n) 时间复杂度的插入&＃xff0c;出现的频率是非常有规律的&＃xff0c;数组已经满了&＃xff0c;也就是 O(n) 是无空闲的状态&＃xff0c;每满一次就会清空数组&＃xff0c;清空数组后重新开始写 n - 1 次才会进行下一次清空&＃xff0c;每次写入的复杂度就是O(1)&＃xff0c;有 O(n) 后接着 n - 1 个 O(1)&＃xff0c;循环往复。所以把耗时多的那次操作均摊到接下来的 n-1 次耗时少的操作上&＃xff0c;均摊下来&＃xff0c;这一组连续的操作的均摊时间复杂度就是 O(1)&＃xff0c;可以理解为 (n &＃43; n - 1)/n。

均摊时间复杂度就是一种特殊的平均时间复杂度&＃xff0c;能够应用均摊时间复杂度分析的场合&＃xff0c;一般均摊时间复杂度就等于最好情况时间复杂度。